यदि int {frac{{sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^4}}}} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} dx$ है।समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}{x^{4}} dx =

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$\frac{{ - 1}}{{27\,{x^9}}}$

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(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} dx$ है।समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}{x^{4}} dx = \int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1} dx.$माना $t = \frac{1}{x^{2}} - 1.$ तब $dt = -\frac{2}{x^{3}} dx,$ जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^{3}} = -\frac{1}{2} dt.$इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} t^{3/2} + C.$$t = \frac{1-x^2}{x^2}$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + C = -\frac{1}{3} \frac{(1-x^2)^{3/2}}{x^3} + C.$चूँकि $(1-x^2)^{3/2} = (\sqrt{1-x^2})^3,$ इसलिए $I = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + C.$इसकी तुलना $A(x) (\sqrt{1-x^2})^m + C$ से करने पर,हमें $m = 3$ और $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ प्राप्त होता है।अतः,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

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